PROBLEMA DEL MILENIO

Mass Gap (Yang-Mills)

Uno de los siete problemas del milenio del Clay Mathematics Institute: demostrar que la teoria Yang-Mills tiene un gap de masa no nulo.

El Problema

En la teoria cuantica de campos Yang-Mills (base de QCD), demostrar rigorosamente que existe un gap de masa no nulo entre el vacio y el primer estado excitado. Esto explica por que los gluones, aunque no tienen masa en el Lagrangiano, forman estados ligados masivos.

Enunciado Formal

Para cualquier grupo de gauge compacto simple G (como SU(3) en QCD):

$$\exists \Delta > 0 : \quad E_1 - E_0 \geq \Delta$$

Donde E₀ es la energia del vacio y E₁ es la energia del primer estado excitado. Este Δ (el "mass gap") debe ser demostrado existir matematicamente.

QCD Clasica

  • Gluones sin masa en el Lagrangiano
  • Autointeraccion no lineal
  • Confinamiento observado pero no demostrado
  • Lattice QCD: evidencia numerica

Observaciones

  • Hadrones mas ligeros: piones (~140 MeV)
  • Nucleones: ~940 MeV
  • No hay glueballs sin masa
  • Gap estimado: ~1 GeV

La Solucion MCMC

El MCMC proporciona un mecanismo fisico para el mass gap basado en el sello entropico S = 1.001 y la transicion de campo Φ_Ad → Φ_H:

El Tercer Sello: S = 1.001

El sello S = 1.001 es un umbral critico donde ocurren tres fenomenos simultaneos:

  • Nacimiento del tiempo: Emerge la metrica 3+1D
  • Transicion de campo: Φ_Ad → Φ_H (campo de Adrian → Higgs)
  • Mass gap: La discretizacion entropica genera el gap
$$S_{gap} = 1.001 \quad \Rightarrow \quad \Phi_{Ad} \rightarrow \Phi_H$$

Discretizacion Entropica

En el sello S = 1.001, existe un incremento minimo de entropia que genera el quantum de energia:

$$\Delta S_{min} = 0.001 \quad \Rightarrow \quad E_{min} = \frac{\hbar c}{l_{lat}} \cdot f(\Delta S_{min})$$

Este quantum de entropia se traduce directamente en el mass gap observado.

Funcion Beta Modificada

La funcion beta del grupo de renormalizacion incluye un termino entropico:

$$\beta(g) = -\frac{11 N_c}{48\pi^2} g^3 + \beta_S(S) \cdot g$$

Donde βS(S) es la contribucion entropica que "congela" el acoplamiento a bajas energias, generando el gap.

Funcion β(S) y Mass Gap

β(g) con Correccion Entropica

El termino entropico detiene el running en g* ≈ 1, generando Δ ≈ 1 GeV

Calculo del Mass Gap

El gap emerge de la escala donde βS domina:

$$\Delta = \Lambda_{QCD} \cdot e^{1/\beta_S} \approx 200 \text{ MeV} \cdot e^{1.6} \approx 1.0 \text{ GeV}$$
Parametro Valor Origen
Λ_QCD ~200 MeV Escala de confinamiento
ΔS_min 0.001 S₄ - S₃
β_S ~0.6 Derivado de k(S)
Δ (mass gap) ~1.02 GeV Prediccion MCMC
Δ ≈ 1.02 GeV en S = 1.001
Mass gap emergente de la transicion Φ_Ad → Φ_H

El mismo sello donde nace el tiempo genera el gap de masa en QCD

Comparacion con Lattice QCD

Lattice QCD (Numerico)

  • Discretiza espacio-tiempo artificialmente
  • Limite continuo a → 0 problematico
  • Evidencia numerica de gap
  • No es una demostracion rigurosa

MCMC

  • Discretizacion fisica (entropia)
  • l_lat es fisico, no artificial
  • Gap emerge de ΔS_min
  • Mecanismo explicativo

Conexion Ontologica

El Gap como Consecuencia del Lattice

En el MCMC, el mass gap no es un misterio matematico sino una consecuencia fisica de la estructura discreta del espacio-tiempo a escala de Planck:

  • El lattice entropico tiene un espaciado minimo l_lat
  • Esto impone un cutoff UV natural (no artificial)
  • La energia minima excitable es E_min = ℏc/l_lat
  • El confinamiento emerge de la topologia del lattice

Implicaciones

  • Confinamiento: Los quarks estan confinados porque el lattice no permite excitaciones fraccionarias de carga de color
  • Libertad asintotica: A altas energias (pequeñas distancias), β_S → 0 y recuperamos QCD perturbativa
  • Hadronizacion: La transicion a hadrones ocurre cuando la energia cae por debajo de Δ
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